Родился в г. Москве в семье музыкантов. Отец — Николай Яковлевич Должиков (1907—1943) — окончил Московскую консерваторию по классу флейты В. Н. Цыбина, был артистом оркестра Московской филармонии (1935—1941); мать — Должикова (Попова) Татьяна Александровна (1907—1986) — пианистка.

​

В 1953 г. окончил Музыкальное училище при Московской консерватории (класс Д. Г. Харкеевича). Тогда же поступил в Московскую консерваторию (класс Н. И. Платонова). В 1975 г. стажировался в Национальной Парижской консерватории у профессора Ж.-П. Рампаля, у него же окончил летнюю Международную академию в Ницце.

​

В 1957—1967 гг. артист оркестра Драматического театра имени А. С. Пушкина. В 1960—1963 гг. работал в Первом Московском областном музыкальном училище, г. Коломна. С 1963 г. преподаватель и заведующий отделением духовых инструментов Центральной музыкальной школы при Московской консерватории. С 1964 г. преподавал на кафедре духовых и ударных инструментов Московской консерватории, с 1985 г. — профессор. С 1992 г. также преподавал в Музыкальном училище при Московской консерватории. Автор методики игры на флейте.

Автор музыкальных сочинений: «Русская сюита» для флейты и фортепиано (1994); « Лирическая сюита»(1998) «Миниатюры» для флейты и фортепиано (М., 2000). Автор учебно-методических трудов и статей, а также редактор-составитель множества сборников произведений для флейты (в том числе: «Хрестоматии педагогического репертуара для флейты в 3 частях»). Составитель 10 сборников, в том числе «Избранные пьесы для флейты соло», «Произведения зарубежных композиторов XIX века» и другие; а также учебных программ для Средних специальных музыкальных школ и музыкальных вузов.

• Н. И. Платонов // Мастера игры на духовых инструментах Московской консерватории. М., 1979
• Техника дыхания флейтиста // Вопросы музыкальной педагогики. Вып. 4. М., 1983
• Артикуляция и штрихи при игре на флейте // Вопросы музыкальной педагогики. Вып. 10. М., 1991

Член жюри Международных конкурсов во Франции (Париж, 1971, 1980, 1983), Германии (Мюнхен, 1979), Венгрии (Будапешт, 1980), России (Москва, 1994), член жюри всесоюзных конкурсов (1979, 1983, 1987, 1991). вузов.

Воспитал свыше 80 учеников, многие из которых лауреаты Международных конкурсов, солисты ведущих оркестров России и зарубежья, заслуженные и народные артисты РСФСР и Российской Федерации, доценты и профессора Московской консерватории и других средних и высших музыкальных учебных заведений. В числе его учеников: Александр Голышев, Марина Ворожцова, Ирина Лозбень , Сергей Бубнов , Леонид Лебедев, Олег Худяков, Мария Чепурина, Ольга Ивушейкова, Максим Рубцов , Игорь Котов, Евгений Брокмиллер , Элла Должикова,Виктория Королёва, Мария Акинфина, Наталья Стёпина , Мария Степанова, Павел Студенников ,Павел Магаев, Евгения Яковлев, Денис Буряков и др..

• Шатский А. Флейтовая школа Юрия Должикова // Музыкальная академия. 1994. № 2
• Софронов А. «Из меня получился не человек с ружьем, а человек с флейтой…» // Культура. 11-17 декабря 2003 г. № 48 (7407)
• Черкудинова Д. «Вы вальс-бостон сыграть могли бы на флейте?..» // Труд. 2004. 24 января. № 13
• Голубенко С. In memoriam // Российский музыкант. 2005. Ноябрь. № 7 (1237). С. 4
• Березин В., Голубенко С. Юрий Николаевич Должиков и его школа // Оркестр. 2006. Июнь. № 2 (3). С. 35-42
• Болотин С. В. Энциклопедический биографический словарь музыкантов-исполнителей на духовых инструментах. — 2-е изд., доп. и перераб. — М.: Радуница, 1995. — С. 88. — 4 000 экз. ;

• «На уроках профессора Ю. Н. Должикова» (1986, Центрнаучфильм)
• «Мастер-классы педагогов Московской консерватории. Юрий Николаевич Должиков (флейта)» (2002, Московская консерватория)